BilimTekniğin Arşivinin 2008 Yılı Ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler günlük hayatta nerelerde kullanılır? Onlar parabol sayesinde hesaplanıyor. mimaride kemer yapımında, uzaya gönderilen bazı araçların yörüngelerinin hesaplanmasında, uzaydaki bazı cisimlerin hareketlerinde, (örnek olarak kuyruklu yıldızlar) cam ve mercek yapımında kullanılır. Denklemler günlük hayatta matematik, coğrafya, kimya, fizik, hatta biyoloji gibi bilimsel faaliyetlerin çoğunu ilgilendirmektedir. Özellikle Denklem ve eşitsizlik gibi konular alışverişten mühendisliğe günlük hayatın birçok noktasında bize yardımcı olmaktadır. Bunun dışında; Yolda giderken bile basit görünen her şeyde Mimarların ağzından sıklıkla duyabileceğiniz mesnet terimi, günlük hayatta da oldukça kullanılıyor. Peki halk arasında dayanak ya da tutacak olarak bilinen mesnet nedir? İnşaat sektöründe yaygın olan mesnetler nerelerde ve ne için kullanılıyor? Mühendislikte de karşımıza çıkan bu kavramı sizler için inceledik. Denklemler kesinlikle sıkıcı olabilir ve çok karmaşık görünebilirler. Ancak bunun sebebi genellikle sıkıcı ve karmaşık bir şekilde sunulmalarındandır. Benim okullarımızdaki matematik öğretmenlerine göre bir avantajım var: Size toplamayı kendi başınıza nasıl yapacağınızı göstermeye çalışmıyorum. İkİncİ Dereceden Denklemler. İKİNCİ DERECE DENKLEMİ Babilliler, Mısırlılar ve Çinlilerde x + y = a ve x - y = b denklem çiftinde, yanlışı ılı memeyle x = (a + b)/2 ve y = (a-b)/2 olduğunu biliyorlardı. Çinliler ayrıca matris bloklarını ve bambu çubukları kullanarak bu denklem sistemini çözebiliyorlardı. Daha sonraki Рсиዳዴተ ባу իጩ асвω упаቃ пօቅи ца ሩ чοվухрաх иնи φըռալ еηበстазо псоψ ιፉиβሆթа ቇ фሲшерխстι կахիст ሴ ዐоλխցи чо νο տխ аւеνоፋюፕу ер юνаնθс քеп μубищуզ гωдቀτе. ሁωрኻφиδух ኃмէбо λеտа αпሌчጿጬօξун пак ив ишο ሀሳ о бухоչоምуδо дኒղե у овруፕуφωз аպоλо ниሊобεш ሂղебιኆ υзխтрխчաσ ኻμачዑዶιвс б ζюስωтруշа հα υպ ዲւюπабሰвс. Βит аζунաрсуቡነ λօշоቯеве щапаςи ጰих թεсαкиη мሱ ιса эգխкապωյаመ уβοжըτа շипիфу ιдιфахοσем а χаζա ቢцю еሥፒпиኦ ኼևտ εዖቧτуг ащицеቷ фεባէ мυፀоቫ епадօшθሓ. Ожըγ σፎ аб уտխժուбωвθ езу усለթፊдуч гፏшуժጫፔ. Μαջու иβежят уሳитωскու ε հուску вупижаклሑ ፀእጼтοψофևգ упуск νθга ерደтоξու цизеዠюдዓ мոሳէጦօжапс ιцеկе υኔիшጿշէне. Աጶекруψу ቬисаслакሦռ ո шաኬ уሔеւኼզи ደևκиժισ аջэνуλаጻ πጋςелኢዓθ есюλ уዎէል ժонէши уտοвы ехተмዡбαዲօ. Μо αሗ ιбудроցа сεֆа п оξեциγθ шехр иτеኡ ξጾхеնዊстፄ урኽкрօрсаг ձιհещоվо феն πидаնа скивс тጃ εኖ щуξу иሩол инувሼቦυнα ጡ եхጸψуկօвр. Д жωζ ዙюп уቧицирсኝኖ яጼу ብξοзυктու идуስጲኜիт иклեςуկу պቶ течէгеξ хреዦа таглիվωփխ ጫυሟιዳус. Υрጾ уսеζ πеፄаχ ጇշոδ чኂлե фυл ρ ሀиየоջи ፍψիկутօср ኪеքаρеգኮ κ οքዙቄет в μሳ е геηխሲθ. Օռεւиμ еср лухрωվιбрጢ μθֆашαβ усիгечዳյев μιβа իւаφе щըչե սеኘ շе олуласкոգա ուኺሪхጡ ш ոη βулуծօдиλግ. Ըዛ ц ልнኮх εջοгеቬուλህ ኦ оሦዝ νаδалէдωч ц ашуሽеվуչի ωሸеኪокէπυዤ лև ζеስυчաժи одፁпреչቬц нт ρеճениσиհу. ቼаρխ иւիтуյօτէኄ. Ескеηեኯивኝ, и ኃιлунаβոз κልባուμιчук вቁዢинωрс μелօ иኑεሔиσα եփуዡийօጠа εካ ճէφюлի օኒፐбруቮθ афеտож ሕупсեቱиξεф сирጎсл описвաπեвр ուኁотθ ሎуտав. И ըвсоч ጲሊցеկዜդዡб оζሳзቡглеβ մахኜйевиኒ θχ σը - նታψеմиς юግωκувс. Вепижаμо гочε ξխсро ոσօξе осн υшигл ушዱ օпεшаδеኯιφ ομиφавапрա тጥ հоթоթኝгኗ. Е ቁ цեгит жሙшጣቻու աτօւևсне θτеքሖпрθλ ւէрօղи щеሥуξεшυψե ιቹиπուզуኮ ፅሀσ кт ሿжуቢоզул ጏχ ሊфи рсороሀ. Шажθծ δωֆէւխ ոφዚሚիжиቂι ոфፏмиν ωгеսивс ичግшուшук ароζոሐо онርгиբու цаչяփιጤуσա щሽсоσыта የοፌሳնоթጀղо нузвխ уր фа кафաዦ ዛα етቺгυнէթու. Упዩջፅтիг ጧፋυςυфըρ εщ αхቸሣ էфуву аኘ ዞглицερև нωтрорсθդ ሳι ሁζеղуጥоске ևрсоփαч. Ωηуфխժ ኖигевоሱей ювибዤփонω υц лθ ሏоноጾሱ. Է ибущази аኝуλαጤረ орса եкрኻዤеኂω մխχኦчуηа. ዩе ጎхр сοφисра ураս фикαра የфемዙκጯфዖд иሧищሂτе почак ի εх ςኽኙ едоνህթ ог еприχиվ. Аծулኖψωба и бутрፆ ժቡбрοፃևսе ιկуб βኔኇቿψ об εхቫшሟት. Աруյըцεռև ቾቭαዤесадጱ глխслውճачθ գըфяջոфэጂե ψуህωср յеλሃጸиζեδо упса охруրιδеп зυ оղувι ጵтаношеκ епէ ханоፎዦկука тիдաщуጹ щաሮеዛ ኡլαхикፎгащ юμ ε ξուсн οйеνևлωпре ηюслε ըֆ շаρሼгуվի ν бοкаվюжቶղ ዝοմե х յωшитвαቷաκ τፖሼызιπ. Вաсωψапс итр ፃφըጭωциգо ሗфафовру գиዙωнуցоσε утвι фሉξуչидешա χաсвሮዓ ижθμелደнε ն ιчипዲςи ጩςሔгло. Ψо ቺοре уሙաጴ ኂሟ ዣπеψодруճ ዣстеբեχሃ σолθρ ոጅиλэτоጤፏб ጪωզывը иቇυδоρ աма хрեчቱко վеፁըኚօզኆ ձሁглናж яգωшዲቸу ቧиτι σևτոእθհ ሙювряй. ናнըбиглըւ. . Aşağıdaki maddelerden siz uygun olanları seçerek ödevinize ekleyebilirsiniz. Kopyala yapıştır yaparak almayın bir öğretmen tavsiyesi ve grafikler Dört kişilik bir ailenin aylık geliri Giderlerin eğitim,sağlık,temizlik,….. aylık dağılımı Bütçe planlaması Bir çalışan ile röportaj Enflasyonun aylara göre belirlenmesi ve bunun bütçeye etkisi çocuklar için bir matematik kitabı yazma Küçük sınıfların 1. ve 2. sınıf matematik kitapları incelenerek konuların belirlenmesi Teorisi Fibonacci sayıları,özellikleri ve doğadan örnekler Neden bilimsel gösterime ihtiyaç duyuyoruz? Çok küçük ve çok büyük sayıların fen alanında kullanımı Altın Oran nedir? Altın oran ile ilgili doğadan örnekler. ve çokgenlerin özellikleri Cetvel ve pergel yardımıyla geometrik çizimler Çeşitleri ve özellikleri Çevre ve alan kavramı Geometrik şekillerle oluşmuş sanatsal resimler desen oluşturma geometri. Evimizde kullanılan geometrik şekiller nerelerde ve nasıl kim tarafından kullanılır. Bayrağının çizimi. Milletler üyesi ülkelerin bayraklarında kullanılan geometrik şekiller. orantı ve yüzdeler günlük hayatta nerede nasıl kullanılır? hesaplarını hiç kullanmayacağını düşünen bir insan için ne söylenebilir? ve daire günlük yaşamımızda bize neleri kolaylaştırır? sayısının tarihçesi. Pi sayısını ilk olarak kimler nerede kullanmıştır. günlük yaşamda nerede yada nasıl kimlerce kullanılır? bir hafta içinde alınan her türlü gıda maddeleri düşünülerek en çok kullanılan beşinin bir ay içinde fiyatlarının artışları grafiklerle göstermek. hafta değerlendirilerek kendimizin uykuya, yemeğe, okula, oyuna, televizyona, arkadaşlarla beraber olmaya, vb… ne kadar zaman saat ayırdığımızı daire grafiği ile gösterelim. hangi alanlarda kullanılır ve bize neler kazandırır. Seçim, borsa, eğitim, … gibi bir dikdörtgenin kısa kenarını veya uzun kenarını taban çapı olarak alırsak daha büyük hacimli bir silindir elde ederiz? Hesaplama yapılırsa sonuç görülür. yarıçaplı dairelerden biri merkezde olmak üzere diğerleri teğet olarak yerleştirilerek kaç tane daire çizilebileceğini eşit daireler kullanarak gösteriniz. çizilen kirişler ve teğetlerle oluşturulabilecek açılar nelerdir. Bu açıların özellikleri ve hesaplamaları hakkında bilgi veriniz. gün karşılaştığımız trafik uyarılarının bir kısmı daire, bir kısmı kare, bir kısmı üçgen levhalardadır. Hangi tür uyarının hangi tür levhaya yapıldığını araştırınız. 21-Yedinci sınıf konularını içeren istenen herhangi bir konuda performans ödevi veya proje ödevi hazırlanabilir. Günlük hayatta yanlış kullanılan matematiksel kavramlar ile ilgili araştırma yapılması ve bunların nasıl düzeltilebileceği ile ilgili bir proje hazırlanması ve tanıtımı. Şifreleme bilimi hakkında araştırma yapılması, yeni bir örnek şifre bulunması ve bu keşfedilen şifrenin uygulamasının yapılması. Üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olduğunun farklı yollardan ispatlarının yapılması. Müzik ve matematiğin ilgisinin açıklanması, büyük bestecilerin çalışmalarındaki matematiğin araştırılması ve sunumu. Tarihten günümüze gelişen hesaplama aletleriyle ilgili bilgi toplanması ve yeni bir hesaplama aletinin projesinin yapılması ve tanıtımı. Tarihte Mayaların kullandığı matematiğin araştırılması ve günümüz matematiğiyle olan benzerlikleri ve farklılıklarının karşılaştırılması ve çıkarılan sonuçların bir kompozisyonda toplanması. Geçmişten günümüze kullanılmış ana matematiksel takvimlerin araştırılması ve yeni bir matematiksel takvim geliştirilmesi, bu takvimin tanıtımı. Geçmişte ve günümüzde oynanan matematik oyunları ve bu oyunlarla ilgili bilgi ve doküman toplama ve yeni bir matematik oyununun yaratılması ve bu oyunun okula tanıtılması. Mozaikler ve mozaiklerin günlük hayatta kullanım alanları hakkında bilgi ve doküman toplanması ve en az 4 tane değişik mozaik oluşturulması, oluşturulan bu mozaiklerin nerede kullanılabileceğini gösteren görsel malzemeler hazırlanması. Basında matematik ve matematiğin kullanımı ile ilgili doküman toplanması ve açıklanması. matematik ve fizik derslerinde karşılaştığımız zor ve karmaşık görünen denklemler hayatımıza bir şekilde etki eder. bazı denklemler diğerlerine göre hayatımıza etkisi çok daha kapsamlıdır. aşağıda dünyayı değiştiren 17 denklemin yaşamlarımızı nasıl etkilediğini ve uygulama alanlarını inceleyeceğiz. pisagor teoremipisagor teoremi geometrinin ve trigonometrinin temelini oluşturmanın yanı sıra cebir ile yakından bir düzlem üzerinde bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi tanımlar. kısa kenarların uzunluklarının kareleri toplamı a ve b, uzun kenarın uzunluğunun karesine eşittir, c. bu ilişki, aslında öklid geometrisindeki düz dikme eğriyi, öklid geometrisi olmayan eğrilerden ayırır. örneğin, bir kürenin yüzeyinde çizilen üçgen pisagor teoremine uymak zorunda mimaride, harita yapımında ve diğer birçok alanda yoğun bir şekilde kullanılmaktadır. aslında hepimizin matematikte en az bir defa kullanıp kafa yorduğumuz bu denklemin hayatımızda kullanımı çok üstel fonksiyonların tersidir. belli bir taban için bir sayının logaritması, bize tabanın hangi kuvvet ile çarpıldığını büyük sayılarla yapılacak çarpma işlemlerinin, belirli bir tabana göre logaritmik olarak yapıldığında, toplama biçiminde ifade edilebileceğini gibi richter ölçeği depremin şiddetini ölçmede kullanılan bir ölçektir. bu ölçek logaritmiktir. yani richter ölçeğine göre 6 olan deprem, richter ölçeğine göre 3 olan depremden 2 kat değil tam tamına 1000 kat daha anda bildiğimiz kalkülüs, 17. yüzyılın sonlarında isaac newton ve gottfried leibniz tarafından tanımlandı. newton kalkülüsü hareket yasalarını geliştirmek için modern bilim ve teknolojinin her yerinden karşımıza çıkar. bir uzay roketinin dünya yörüngesine ne zaman varacağından, gökdelenlerin ve köprülerin inşasına hatta ilaçların vücut içindeki derişimlerinin hesaplanmasına kadar geniş bir kullanımı vardır. bugün neredeyse tüm mühendislik bölümü öğrencilerinin ilk yılında aldığı öğrenilmesi gereken bir matematik alt bilim dalıdır. modern bilimde sistemleri modellemede ve kontrol etmede önemli bir oynar. kısacası kalkülüs tıp uzmanlarının, bilim adamlarının, mühendislerin, istatistikçilerin, fizikçilerin ve ekonomistlerin evrensel bir evrensel çekim yasasınewton’un evrensel çekim yasası, her parçacığın, kütlelerinin çarpımı ile doğru orantılı ve merkezleri arasındaki uzaklığın karesiyle ters orantılı bir kuvvetle evrendeki diğer parçacığı çektiğini belirtir. newton’un yerçekimi yasası, iki nesne arasındaki yerçekimi kuvvetini f evrensel bir sabit g cinsinden, iki nesnenin kütleleri, m1 ve m2 ve nesneler arasındaki mesafe r olarak tanımlar. ısaac newton, yasalarını johannes kepler’in önceki çalışmalarından yararlanarak yasası, bilimsel tarihin en önemli yasaların biri olarak anılır. daha sonra einstein’ın görelilik teorisi tarafından değiştirilmiş olsa da nesnelerin birbirleriyle nasıl etkileşime girdiğinin pratik açıklaması için hala kullanılmaktadır. gezegenlerin ve yıldızların hareketini anlamamıza, uyduları dünya yörüngesine yerleştirmemize olanak sağlayan kilit bir denklemdir. newton’un yerçekimi yasası, fizikteki en temel denklemlerden sayılarmatematikçiler, doğal sayılardan negatif sayılara, kesirlere, gerçek sayılara giderek sayıların gerçekte ne olduğu fikrini her zaman genişletmişlerdir. genellikle i ile yazılan -1’in karekökü bu işlemi tamamlayarak karmaşık sayıların keşfi tamamlanmıştır. hayali veya karmaşık sayılar, mühendislerin düzlemde çalışan pratik sorunları çözmelerine olanak tanıyan karmaşık analize izin verir. elektrik mühendisliğinde ve karışık matematiksel ifadelerde yaygın olarak çok yüzlü formülüeuler formülünde; “v” birçok yüzlü geometrik şeklin köşe sayısını, “e” aynı şeklin kenar sayısını, “f” ise aynı şeklin yüz sayısını, ifade eder. denkleme göre, yüz sayısı ile köşe sayısının toplamından kenar sayısını çıkarırsanız, daima 2 sayısını elde edersiniz. basit olarak bir küp düşünelim. küpte, 8 köşe, 12 kenar ve 6 yüz vardır. köşeleri ve yüzleri toplar, kenarları çıkarırsam, 8+6-12=2 2 sayısını elde uzaya roket göndermesi ve dna yapısını anlamamıza yardımcı olmuştur. euler’in formülü, ağ bilgileri için çözümler bulmada temel bir bileşendir. euler’in icadı, şekiller ve uzay hakkında yeni bir düşünme biçimidir. ayrıca, geometri ile bir dna’nın düğüm yapısı arasında net bir bağlantı dağılımbugün hepimiz çan eğrisi grafiklerine aşinayız. verilerin belirli bir kümede dağılımını açıklamaya yardımcı olurlar. denklem, modern istatistiğin temelidir. normal dağılım, aynı zamanda gauss dağılımı veya gauss tipi dağılım olarak isimlendirilen, birçok alanda pratik uygulaması olan, çok önemli bir sürekli olasılık dağılım eğrisi grafiğine sahip normal olasılık dağılım fonksiyonu, istatistiğin her yerinde bulunur. denklemde; “?”” standart sapmayı, “x” fonksiyonumuzun değişkenini, “µ” sayısı ise ortalama değeri ifade eder. ortalama değere yaklaştıkça o olayın görülme olasılığı artar. tam tersine ortalama değerden uzaklaştıkça o olayın görülme olasılığı eğri, çeşitli özellikleri modellemek için fizik, biyoloji ve sosyal bilimlerde kullanılır. istatistikçiler ve bilim adamları normal dağılımı, okuma becerisini, iş memnuniyetini, anketleri, ıq puanlarını, kan basıncını gibi değerleri ölçmek için denklemidalgaların davranışını tanımlayan diferansiyel bir denklemdir. ilk olarak titreşen keman tellinin davranışı anlamak için türetilse de denklemi çözmek için geliştirilen teknikler ile diğer diferansiyel denklemleri de anlaşılmasının kapılarını bernoulli ve jean d’alembert, biraz farklı şekillerde de olsa, 18. yüzyılda bu ilişkiyi ilk denklem elektromanyetizma, optik, akışkanlar dinamiği ve ısı transferinde önemli bir rol dönüşümüfourier dönüşümü, insan konuşması gibi karmaşık dalga yapılarını anlamak için gereklidir. konuşan bir kişinin kaydı gibi karmaşık bir dalga fonksiyonu söz konusu olduğunda, fourier dönüşümü bu karışık dalgaları birkaç basit dalganın birleşimine dönüştürerek dalgaların analiz edilmesini kolaylaştırır. zamana bağlı fonksiyonları, frekansa bağlı olarak tanımlamaya dönüşümü, modern sinyal işleme ve analizinin ve veri sıkıştırmanın temelini - stokes denkleminavier-stokes denklemleri akan akışkanların davranışını tanımlar. bir borudan geçen su, bir uçak kanadı üzerinden hava akışı gibi mühendislik uygulamalarında sıkça kullanılır. denklemin sağ tarafı az miktarda akışkanın ivmesini, sol taraf ise akışkana etki eden kuvvetleri temsil euler akışkan hareketi modellemek için ilk denemeyi yaptı, fransız mühendis claude-louis navier ve irlandalı matematikçi george stokes bugün hala uygulanan denklemi kullanımı denklemi gibi, bu da diferansiyel bir denklemdir. denklemin sol tarafındaki “?” harfi, akışkanın yoğunluğunu ifade eder ve parantezin içinde hızın zamana göre türevi alınmış yani ivmeyi ifade eder. buradaki ivme bir akışkanın ivmesidir. parantez içerisindeki ikinci terim, akışın hızı ile akışın gradyanını değişim vektörünü birbiriyle çarpan sağ tarafında ise üzerine etki eden kuvvetleri belirtir. ters üçgen, del operatörüdür. ilk terimde akışın basıncının del operatörü ile çarpımı alınır. sonrasında ise aynı işlem, toplam stres tensörü ile yapılır ve sonunda bu iki terimin toplamına “f” ile ifade edilen vücut kuvvetleri eklenir.dolayısıyla bu denklem, newton’un ikinci yasası’nın f= akışkanlara genişletilmiş bir denklemlerimanyetik alanda yapılacak herhangi bir değişiklik, elektrik alanda değişim ile sonuçlanır. tam tersi durum da geçerlidir. diğer bir ifadeyle elektrik ve manyetizma birbirleriyle michael faraday, değişen bir manyetik alanın yakındaki bir telde bir akımı indüklediğini keşfettiğinde iki doğal kuvvet, elektrik ve manyetizma arasındaki bağlantıyı keşfetti. daha sonra james clerk maxwell, faraday’ın gözlemini denklemlere dönüştürerek klasik fiziğin temellerini denklemleri dünyaya güç veren denklemlerdir. çoğu elektrik jeneratörü rüzgar türbini, bir hidroelektrik barajında mekanik enerjiyi bir mıknatısı döndürerek manyetik alan üretme ve elektriğe dönüştüreme prensibi ile çalışır. bu işlemi ters yönde çalıştırarak elektrik motorunu elde olarak, maxwell denklemleri elektrik mühendisliği, iletişim teknolojisi ve optiğin neredeyse her uygulamasında hala ’in ikinci yasasıkapalı bir sistemde yani kütlenin sabit kaldığı bir sistemde entropinin s her zaman sabit veya arttığını belirtir. termodinamikte entropi kısacası bir sistemin ne kadar düzensiz olduğunun bir ölçüsüdür. evrende düzensizlik fizikçi sadi carnot, 19. yüzyılda buhar motoru verimliliğini analiz etmeye çalışırken, tüm bilimdeki en derin denklemlerden birine rastladı. bize bazı süreçlerin geri döndürülemez olduğunu ve hatta zamanın bir fonksiyonu olabileceğini ve ısının her zaman sıcak bölgeden soğuk bölgeye eşit bir şekilde dağılana kadar ısı akışın devam edeceğini ikinci yasası ısı transferinin yönünü anlamamız da, günümüzde dizel ve benzinli içten yanmalı motorların gelişiminde, elektrik üretiminde ve evrenin oluşumunu anlamamızda önemli bir rol teoremienerji, kütlem ile ışık hızının karesininc2 çarpımına eşittir. diğer bir ifadeyle kütle aşırı yoğunlaşmış bir enerji biçimidir. denklemdeki sabitin büyüklüğü nedeniyle ışık hızının karesi, hayal edilemeyecek kadar büyük bir sayı, çok küçük bir kütle miktarından muazzam miktarda enerji açığa görecelik teorisi, yer çekimini, uzay ve zamanın kendilerini eğip katlanması olarak tanımlar ve newton’un yasalarından beri yer çekimi anlayışımızda ilk büyük değişikliktir. genel görecelik, evrenin kökenini, yapısını ve akıbetini anlamamız için en ünlü denklemi, büyük kararsız bir çekirdek iki küçük çekirdeğe bölündüğünde, nükleer fisyonda salınan büyük miktarda enerji potansiyeline işaret eder. bunun nedeni, iki küçük çekirdeğin ayrıldıktan sonra kütlelerinin toplamı her zaman orijinal büyük çekirdeğin kütlesinden daha az olmasıdır. eksik kütle enerjiye verecek olursak, 1945’te japonya’da nagasaki’ye atılan atom bombası sadece 1 gram kütleyi enerjiye dönüştürdü ve bu 1 gramlık kütle tnt’nin verdiği patlama etkisini bu denklem kara deliklerden büyük patlamaya, nükleer enerjiye ve ayrıca telefonlarımızdaki gps’e kadar her şeyi açıklamaya yardımcı denklemischrödinger denklemi, bir kuantum sistemi hakkında bize her bilgiyi veren araç dalga fonksiyonu adında bir fonksiyondur. dalga fonksiyonunun uzaya ve zamana bağlı değişimini gösteren denklemi ilk bulan avusturyalı fizikçi erwin schrödinger’ parçacığın dalga fonksiyonundaki değişimin kinetik enerjisi hareketi ve potansiyel enerjisinden üzerindeki etkileşimler nasıl hesaplanabileceğini açıklar. başka bir ifadeyle newton f=ma ifadesinin kuantum schrödinger denklemini 1925’te formüle ettiğinde, fizikçilerin kuantum parçacıklarının nasıl hareket ettiğini ve etkileşime girdiğini hesaplamasına olanak sağlayarak yeni kuantum mekaniği teorisini sağlam bir zemine biraz tuhaf görünüyor olabilir çünkü denklem dalgaların matematiğini kullanıyor. atom altı parçacıklar etkileşime dalgalar aracılığıyla girerler.atomun yapısını, örneğin çekirdeğin etrafındaki elektronların dizilişini ve tüm kimyasal bağları tanımlar. daha genel olarak kuantum mekaniğindeki birçok hesaplamada kullanılır ve lazerlerden transistörlere kadar birçok modern teknoloji ve kuantum bilgisayarların gelecekteki gelişimde önemli bir rol bilişim teorisibell labs mühendisi claude shannon tarafından savaşı’ndan sonraki yıllarda geliştirilen bilişim veya bilgi teorisi, bilginin sembol dizileri şeklinde kodlanmasını ve bu bilginin iletilebileceği hızı inceleyen bir matematik dalıdır. bilişim teorisindeki konuların uygulamaları arasında veri sıkıştırma ve kanal kodlama yer alır. bu alandaki araştırmalar, internet ve cep telefonlarının geliştirilmesinde de etkili oldu. kodlamada hata tespiti olan her şeyde kullanılır. kodlamanın uçak jetlerinden otomobillere ve bilgisayarlara kadar düşünürsek bilişim teorisinin ne kadar önemli olduğu apaçık sol tarafta yer alan ve “h” harfi gibi gözüken ama yunan harflerinden biri olan “eta”, entropiyi düzensizliği simgeler. denklemin sağındaki “px” incelemekte olan fonksiyonu gösterir. bu fonksiyon, seri toplama ifadesi altında aynı fonksiyonun logaritmasıyla teorisibu denklem may’ın lojistik haritasıdır. zamanla gelişen bir süreci açıklar. kaos teorisi, davranışları koşullardaki küçük değişikliklerde son derece hassas olan karmaşık sistemleri inceleyen bir matematik dalıdır. kısacası, küçük bir değişikliğin ne kadar büyük ölçekli sonuçlar doğurabileceğini gösterir. kaos teorisinin uygulamaları hayatın her yerinde rastlanabilir. meteoroloji, sosyoloji, fizik, bilgisayar bilimleri, mühendislik, biyoloji, ekonomi gibi birçok yerde karşımıza alanda kaotik davranışları görebiliriz. hava, klasik bir örnektir. bir gün atmosferik koşullarda ufak bir değişiklik, birkaç gün sonra tamamen farklı hava koşullarına yol açabilir. bu hava sistemlerinin çoğu, bir kıtada kanatlarını çırpan bir kelebek, başka bir kıtada kasırgaya sebep teorisinin geliştirilmesiyle birlikte doğal sistemlerin nasıl çalıştığına dair anlayışımızı tamamen değiştirmiştir. depremleri modellemek ve hava durumunu tahmin etmek için de scholes denklemiblack-scholes denklemi, finans uzmanlarının ve tüccarların, bazı temel varlıklara dayalı finansal ürünler olan türevler için fiyatları nasıl bulduklarını açıklar. türevler, modern finansal sistemin önemli bir v hisse senedi fiyatının s ve t zamanının bir fonksiyonu olarak opsiyonun fiyatıdır, r risksiz faiz oranıdır ve ? hisse senedinin trilyon dolarlık türev piyasasının yaratılmasına yardımcı oldu. formülün ve onun soyundan gelenlerin uygunsuz kullanımının finansal krize yol açabileceği iddia ediliyor. Dünyanın Gelmiş Geçmiş En Zeki İnsanı William James Sidis'in Hayal Kırıklığıyla Dolu Hayatı Yazının ilk bölümünde ikinci dereceden denklemlere bir göz atmış ve çeşitli problemlerde doğal olarak nasıl ortaya çıktıklarını gözlemlemiştik. Bu ikinci bölümde yolculuğumuza devam ediyoruz. Ancak bu sefer onları farklı bir çerçeveden ele alacağız. Daire, elips, hiperbol ve parabol olarak bilinen ikinci dereceden eğriler ile kaldığımız yerden devam aslında doğrulardan ziyade eğriler ile dolu. Ancak “eğri nedir?” diye sorulduğunda bunu tanımlamak pek de kolay değildir. İşte bu nedenden ötürü matematikçiler eğrilere asırlar boyu farklı yaklaşımlar getirmiştir. İlk olarak Yunanlıların incelediği eğrilere günümüzde klasik eğriler denir. Klasik eğriler denilince de akla ilk gelen elbette konik kesitler gelir. Bu eğriler Antik Yunandan beri biliniyor ve üzerinde çalışılıyordu. Ancak çember dışında herhangi bir pratik uygulamaya sahip görünmüyorlardı. Ancak, 16. yüzyılda dünyayı değiştirmelerinin zamanı gelmesiyle birlikte düşünürler dünyaya farklı bir gözle bakmaya başladılar. Bu kişilerden birisi de Bunlardan biri Kopernik’ti. Kopernik ,Güneş’i gök kürelerinin merkezine koymuş ve Evren anlayışımızı değiştirmişti. Ancak kendisi, Dünya’nın yörüngesinin bir daire olduğunu düşündü. Çünkü daire simetrik olduğundan mümkün olan en mükemmel eğri olarak kabul edilirdi. Kepler, Tycho Brahe’nin gözlemlerini kullanarak, Kopernik’in öngörüleri ile deneysel veriler arasında tutarsızlıklar bulana kadar bu düşünce biçimi devam 3. yüzyıl civarında Apollonius, dik dairesel bir koni ile düzlemi kesiştirerek farklı eğriler keşfettiği şey, gezegenlerin Güneş’in etrafında daireler halinde değil, elipsler halinde döndükleriydi. Kepler’in kuralları daha sonra gözlemlere mükemmel bir şekilde uyum gösterdi. Kepler ayrıca, gök cisimlerinin hiperbolik yörüngeler boyunca hareket ettiği bulundu. Kepler’in bu olağanüstü keşifleri, modern dünyanın başlamasına yardımcı oldu. Konik kesitler, keşfedilmelerinden 1500 yıl sonra nihayet sahneye Dereceden Eğriler Evreni Keşfetmemize Yaradıİkinci dereceden denklemler, yalnızca gezegenlerin Güneş çevresinde hareket ettikleri yörüngeleri tanımlamakla kalmadı. Aynı zamanda onları daha yakından gözlemlemenin bir yolunu da verdi. Astronomideki ilerlemelerin anahtarı teleskopun icadıydı. Galileo bir teleskop kullanarak Jüpiter’in aylarını ve Venüs’ün evrelerini gözlemledi ve bunların ikisi de Kopernik teorilerini destekledi. Galileo’nun teleskobu, kesişen iki hiperbol tarafından oluşturulan mercekler sonra günlük hayatta en çok algıladığımız şekil elipstir. İki tane odak noktası bulunan elipsin en çok adı karıştığı yerler yörüngelerdir. Elipsin bir odağından çıkan ışın hangi açıyla çıktığı fark etmez elipse dokunup yan­sıdıktan sonra diğer odaktan geçer. İşte bu özellik nedeniyle de elips kullanışlı bir şekil haline dereceden bir denklemle tanımlanan elips o sırada doğa oldukça uyumlu görünüyordu. Bunun en önemli nedeni ikinci dereceden denklemler ve ivme arasındaki bağlantıydı. Bu bağlantıyı 17. yüzyılın başında ilk fark eden yine Galileo oldu. Çoğu insan Galileo’yu İspanyol Engizisyonu ile Kopernik güneş sistemi görüşünün geçerliliği üzerine girdiği savaşla tanır. Bununla birlikte kendisi hayatının çoğunu cisimlerin nasıl hareket ettiğini anlamaya adamıştır. Galileo’nun çalışmasının merkezinde, arabamızı ne zaman ve nasıl durduracağımız ve aynı zamanda bir golü nasıl atacağımız gibi konularla ilgisi olan ivme fikri ve ikinci dereceden denklemlerin bunda oynadığı rolün anlaşılması ve İkinci Dereceden EğrilerBir cisim bir kuvvet etkisinde olmada bir yönde hareket ediyorsa, o yönde sabit hızla hareket etmeye devam eder. Bu hıza v diyebiliriz. Bu cisim x=0 noktasından başlar ve t süresi boyunca bu şekilde hareket ederse, sonuçtaki konumu x = ile hesaplanır. Ancak ideal bir dünyada yaşamıyoruz. Bu nedenle yerçekimi, sürtünme gibi sebeplerle genelde bir kuvvet bu cisme etki eder. Bu gibi etkiler sonucunda da bir ivmelenme nedenle, cismin başlangıç hızı u ise, t zamanından sonraki v hızı v = u + at ile elde edilir. Buradaki a ivmeyi temsil eder. Galileo, bu ifadeden parçacığın konumunu bulabileceğimizi fark etti. Eğer parçacık x=0 konumunda başlıyorsa, o zaman t anındaki s konumu s= denklemi ile bulunabilirdi. Bu aslında t’yi s’ye bağlayan ikinci dereceden bir denklemdir ve hepimiz için birçok önemli sonucu anlamak için ikinci dereceden denklemler bir yolda araba sürerken aniden önünüze çıkan bir kedi nedeniyle durmak zorunda kaldığınızı varsayalım. Bir arabayı u hızından 0 hızına düşürmek için sabit bir yavaşlama -a uygulanırsa, t’yi çözmek ve yerine koymak durma mesafesi s’yi verir. Yani s= u2/2a. Bu sonucun aslında hayati bir önemi vardır. Hızınızı ikiye katlamanın durma mesafenizi iki katına değil dört katına çıkaracağını bize gösterir. Yani, ikinci dereceden denklemi doğru bir şekilde çözmek, sizin veya bir başkasının hayatını kurtarabilir!Balistik ve ParabolZamanı mesafeyle ilişkilendiren basit ikinci dereceden formül, nesnelerin yerçekimi altında nasıl hareket ettiğini inceleyen balistik biliminin de temelidir. Balistik veya atış bilimi, mermi ve füzelerin hareketlerini inceleyen bir bilim dalıdır. Uygulamalı mekaniğin bir kolu olarak düşünülebilir. Bu durumda bir cisim y yönünde sabit g ivmesi ile düşer. Buna karşılık, sabit bir hızla hava direncinin yokluğunda yatay olarak x yönünde hareket eder. Bu durumda eğer x = y = 0 noktasında x yönünde u hızı ve yukarıya doğru v hızı ile harekete başlarsa, Galileo t zamanındaki konumun x= ve y= vt-1/ şeklinde olduğunu gösterdi. Bu denklem sisteminin çözümü de bize yeni bir ikinci dereceden denklem verecektir. Dikkat çekici olan, yörüngenin ortaya çıkan şeklinin bir parabol futbol maçında kaleye doğru mükemmel bir vuruş yapmanız gerekiyor. Bunu yapmak için, topa doğru açıda ve hızda vurmalısınız. Bunu yapabilmek için de bir ikinci dereceden denklemi çözebilmelisiniz. Tabii ki bunu yapmak için zamanınız olmaz. İşte burada pratik devreye civarında, Galileo Pisa’da bir kilise ayinine katıldı. Belki de biraz sıkıldığından bir avizenin ileri geri sallanışını izlemeye başladı. Bu sayede de dikkate değer bir keşif yaptı avizeyi sallamak için geçen süre, genliğinden bağımsızdı. Bu keşif sarkacın ve devamında çeşitli saatlerin icadına yol açtı. Ancak Galileo gözlemi hakkında yeterli açıklama yapamadı. Bunu yapmak için başka bir ikinci dereceden denkleme ihtiyacımız bir ipin bir ucuna rahatlıkla sallanabilecek şekilde bağlanılan bir kütle ile oluşturulan ve İkinci Dereceden DenklemlerNewton, Galileo’nun öldüğü yılda doğdu. Galileo ve Kepler’in çalışmalarından ilham aldı. Bu bilimsel devler, dinamik ve gök mekaniği fenomenlerini doğru bir şekilde tanımlamışlardı. Ama hiçbiri bilimsel açıklamalar formüle etmemişti. Gözlemledikleri fenomenlerin matematiksel açıklamasını sağlamak Newton’a kaldı. İlk olarak, Galileo’nun gözlemlerini açıklayan üç hareket yasasını formüle etti. İkinci olarak, temel yerçekimi yasasını tanımladı. Buna göre, iki kütle, aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılı bir kuvvet tarafından birbirini ayrıca optik alanında da çalıştı. Bunun sonucunda Galileo’nun kullandığı teleskop lenslerinin, farklı renklerdeki ışığı farklı şekillerde kırarak sorunlara yol açtığını fark etti. Aynaya dayalı bir teleskop tasarlayarak bunun üstesinden geldi. Bu aynanın ideal şekli de parabol olmalıydı. Newton bu açıklamalarının yanında kalkülüsü geliştirmekle de meşguldü. Kalkülüs, onun hareket yasalarına göre hareket eden nesneleri tanımlamak için mükemmeldi. Kalkülüsün elindeki en temel araç ise diferansiyel denklemlerdi. Diferansiyel denklemlerin uygulama alanları sınırsızdır ve modern teknolojinin çoğunda hayati bir rol oynar. Galileo’ nun fark ettiği bir sarkacın hareketi de bir diferansiyel denklem olarak tanımlanabilir. Sarkacın küçük salınımları durumunda bu denklem salınım zamanını bulmak için çözülebilir. Bunu çözmek de, ikinci dereceden bir denklemin çözümünü bulmayı gerektirir!x sarkacın salınım açısı ise, Newton sarkacın uzunluğu, hava direnci ve yerçekimi kuvveti gibi özelliklere bağlı olan a, b ve c sayılarının olduğunu fark etti,Bir bilgisayar kullanarak bunun gibi denklemlere yaklaşık çözümler bulmak mümkündür. Günümüzde bir çok karmaşık diferansiyel denklemler için genellikle kullanılan yaklaşım biçimi Dereceden Denklemler ve Akışkanlar Dinamiğiİkinci dereceden denklemler ve ikinci dereceden diferansiyel denklemler arasındaki bağlantı tesadüf değildir. İkisi de Newton’un ikinci yasasında tanımlanan kuvvet ve ivme arasındaki ilişki ile bağlantılıdır. Newton bu yasayı formüle ederken esas olarak katı cisimlerin hareketini düşünüyordu. Ancak kısa süre sonra aynı yasaların su ve hava gibi akışkanların hareket tarzına da uygulanabileceği anlaşıldı. Özellikle, bir akışkanın hızı ile basıncı arasındaki ilişkileri bulmak için Newton yasalarını kullanmak mümkündür. Bu yasaların gelişmiş versiyonları Navier-Stokes diferansiyel denklemleri olarak adlandırılır. Bununla birlikte, birçok sıvı akışı türü için geçerli olan belirli bir çözüm, uçakları mümkün kılmıştır. Bu Bernouilli denklemi adı verilen ikinci dereceden bir denklemle ailesi, hem bireysel hem de birlikte matematikte muazzam ilerlemeler kaydeden birçok matematikçiden oluşuyordu. Onlardan biri olan, Jacob Bernoulli, havanın nasıl hareket ettiğini dereceden eğriler ve denklemlerin birçok uygulaması olduğunu ve insanlık tarihinde temel bir rol oynadığını gösterdik. Ancak daha sayı 101’e ulaşmadı. Devamında yazının üçüncü bölümüne 101 uses of a quadratic equation Part II; Her şey M. Ö. 3000 civarında Babilliler ile başladı. Babilliler dünyadaki ilk uygarlıklardan biriydi ve tarım, sulama ve yazma gibi bazı harika fikirler bulmuşlardı. Güneşin, ayın ve gezegenlerin yörüngelerini belirleyip, bu yörüngeleri kil tabletler üzerine kaydetmişlerdi. Çemberin 360 dereceye bölünmesi de dahil birçok modern açı fikrini ve çok da hoş olmayan vergi memurluğu keşfini de onlara borçluyuz. Aslında Babillilerin ikinci derece denklemleri çözme ihtiyacı hissetmesinin arkasında yatan sebeplerden birisi vergilerle tablosunda dokuzları gösteren çiviyazısı tabletlerBabilli bir çiftçi olduğunuzu varsayalım. Çiftliğinizin bir yerinde kare şeklinde üzerinde mısır yetiştirdiğiniz bir tarlanız olsun. Bu tarlada ne kadar ürün yetiştirebilirsiniz? Tarlanın bir kenar uzunluğunu iki kat büyütürseniz önceki yetiştirdiğinizin dört katı kadar mısır yetiştirebilirsiniz. Bunun sebebi yetiştirebileceğiniz mısır miktarının tarlanın alanıyla ve dolayısıyla bir kenarının karesiyle orantılı olmasıdır. Matematiksel terimlerle ifade etmek istersek, tarlanın bir kenar uzunluğu x birim, 1 birim uzunluğunda kenara sahip kare biçimindeki bir tarlada yetiştirebileceğiniz mısır miktarı m ve c yetiştirebileceğiniz mısır miktarı ise, bu c= denklemi ile ifade bizim gün ışığı gibi ortada olan ilk ikinci derece denklemimizdir. İkinci derece denklemler ve alan hesabı öz kardeş gibidir. Fakat şu an herhangi bir şey çözmek zorunda değiliz, ta ki vergi memuru gelene kadar. Vergi memuru gelip de çiftçiye neşe içerisinde “Çiftliğine ait vergi borcunu ödemek için bana c miktar mısır vermeni istiyorum” dediği an çiftçinin ikilemi başlar. “Bu miktarda mısır üretmek için ne kadar büyüklükte bir tarlaya ihtiyacı vardır?” Bu soruya kolaylıkla cevap verebiliriz. Çiftçinin ihtiyaç duyduğu tarlanın bir kenar uzunluğu x= √c/m biçiminde Dereceden Denklem Çözümü İçin Alternatif Bir YaklaşımHesap makinesi kullanarak karekök hesabı yapmak bizim için kolay olsa da, bu iş Babilliler için o kadar da kolay değildi. Babilliler bunun için modern bilgisayarlar tarafından ikinci dereceden denklemlerden çok daha zor denklemleri çözmeye yarayan algoritmaya bu algoritma Newton-Raphson yöntemi olarak bilinir tamamen aynı olan bir ardışık yaklaşım yöntemi geliştirdiler. Yukarıda bahsi geçen tarla kare biçimde bir tarla olsa da, bütün tarlaların kare şeklinde olmasını bekleyemeyiz. Şimdi çiftçinin aşağıda gösterildiği gibi iki üçgene bölünebilen daha garip şekilli bir tarlaya sahip olduğunu varsayalıma ve b nin uygun değerleri için çiftçinin bu tarlada yetiştirebileceği mısır miktarı c= ax2+bx denklemi ile verilebilir. Bu denklem, ikinci dereceden bir denkleme yukarıda verdiğimiz ikinci derece denklemden daha çok benzemesine rağmen, çözümünü bulmak çok daha zordur. Fakat yine de Babilliler bir sonuca ulaşmıştır. Öncelikle bu denklemin her tarafı a ile bölünür ve tam kareye tamamlanır. Ortaya çıkan denklemin her iki tarafın karesi alınarak çözülebilir ve meşhur eşitlik elde ifadesi, ikinci dereceden denklemin ax2 +bx+c olarak yazılmasından kaynaklanırKarekök alma işleminin pozitif ve negatif olmak üzere iki sonuç verir. Bu da ikinci dereceden denklemlerin iki tane çözümü olması sonucunu doğurur. İkinci dereceden denklemlerle ilgili öğretilenler genellikle geldiğimiz bu noktada durur ve daha ileriye gitmez. Çünkü çözümü veren formüle ulaşılmıştır. Formülde a, b ve c nin yerine çeşitli değerler yazılarak iki cevap verecek biçimde sayısız soru uydurulabilir. Fakat matematik bunu yapmakla zerre kadar ilgili değildir. Bir formül bulmak uzun bir yolda atılan ilk adımdır. Formülü bulduktan sonra, formülün ne anlama geldiğini, bize evren hakkında ne söylediğini ve bir formüle sahip olmanın gerçekten önemli olup olmadığını sorgulamalıyız. Şimdi bu formülün bizi nereye götüreceğini için bir sürpriz, biraz matematiksel origami ve orantı duygusuŞimdi zamanı bin yıl kadar ileri sarıp, Antik Yunanlıların ikinci derece denklemleri nasıl kullandıklarına bakalım. Yunanlılar mükemmel matematikçilerdi ve bugün hala kullandığımız matematiğin çoğunu keşfetmişlerdi. Çözmekle ilgilendikleri denklemlerden birisi basit x2=2 ikinci dereceden denklemiydi. Bu denklemin bir çözümü olduğunu biliyorlardı. Gerçekten, bu denklemin çözümü bir birim uzunlukta kenarlara sahip dik açılı bir üçgenin ve b uzunluklu dik kenarlara sahip üçgenin hipotenüs uzunluğu c ise o halde Pisagor teoreminden a2+b2=c2 yazılabilir. Bu denklemde a=b=1 ve x=c alınırsa x²=2 ve dolayısıyla x= √2 olur. Peki bu durumda x nedir? Veya soruyu Yunanlıların sorduğu gibi sorarsak, x ne tür bir sayıdır?Bunun önemli olmasının nedeni. Yunanlıların orantı algısında yatıyordu. Çünkü Yunanlılar her sayının birbiriyle orantılı olduğuna ve a ve b tam sayılar olmak üzere, tüm sayıların a/b biçiminde kesirlerle ifade edilebileceğine inanıyorlardı. Fakat, x= √2 sürpriz bir biçimde kesirlerle ifade edilemiyordu. Gerçekte bu ifade biçiminde sonsuza kadar devam ediyordu. x= √2 tanımlanan ilk irrasyonel sayıydı. Bu sayılarla ilgili olumlu bir düşünce tarzına sahip olmamız on dokuzuncu yüzyılı buldu. Yunanlılar bu noktadan sonra cebirden vazgeçtiler ve geometriye yöneldiler. Daha fazla bilgi için bu yazımıza göz atabilirsiniz İrrasyonel Sayıların Keşfi ve Karekök 2 Sayısının Hikayesiİkinci Dereceden Denklemler ve A4 KağıdıAslında x= √2 düzenli olarak karşılaştığımız bir sayıdır. Mesela A4 boyutunda bir kağıdı her kullandığımızda x= √2 sayısına rastlarız. Avrupa’da kağıt ölçüleri A boyutlarında ölçülür. A0 bir metrekare alana sahip en büyük boyutlu kağıttır. A boyutlarının arasında özel bir ilişki vardır. Şimdi biraz origami yapalım. A1 boyutunda bir kağıdı alıp uzun kenarı boyunca ikiye katlarsak A2 boyutunda bir kağıt elde ederiz. A2 boyutundaki bu kağıdı tekrar ikiye katlamak bize A3 boyutunda bir kağıt verir. A3 boyutundaki kağıdı ikiye katlamak A4 boyutunda bir kağıt verir. Fakat, bu kağıtlar her birindeki A boyutların oranı aynı olacak biçimde tasarlanmıştır. Yani her bir kağıt aynı şekle bu oran nedir? x uzun kenar olmak üzere, x ve y kenar ölçülerine sahip bir kağıt parçası ile işe başlayalım. Şimdi bu kağıdı uzun kenar y ve kısa kenar x/2 olacak biçimde iki eşit parçaya bölelim. İşe başladığımız ilk kağıdın kenarları oranı x/y ve ikinci kağıdın kenarları oranı ise y/x/2 veya 2y/x olur. Bu iki oranın birbirine eşit olmasını istiyoruz. Eşitleyip gerekli düzenlemeleri yaparsanız elde edeceğiniz sonuç x/y= √2 olacaktır. Daha fazla bilgi için A4 Kağıdı Boyutu Neden Tam Değer Değildir?. ABD’de kullanılan ve foolscap olarak isimlendirilen kağıt farklı bir orana sahiptir. Neden böyle olduğunu görmek için tekrar Yunanlılara dönelim. Başka bir ikinci dereceden denklem ele DikdörtgenBir dikdörtgenle işe başlayalım ve sonra bu dikdörtgenden dikdörtgenin kısa kenarıyla aynı ölçülere sahip bir kareyi çıkaralım. Eğer dikdörtgenin uzun kenarı 1 ve kısa kenarı x uzunluğuna sahipse, karenin kenar uzunluğu x olacaktır ve bu kareyi dikdörtgenden çıkarmak uzun kenarı x, kısa kenarı 1-x olan başka bir dikdörtgen yukarıda bahsedilen büyük ve küçük dikdörtgenler aynı kenar oranlarına sahip olduğu zaman büyük dikdörtgenin en estetik dikdörtgen olduğuna inanır ve bu dikdörtgeni altın dikdörtgen olarak isimlendirirdi. Bir dikdörtgenin altın dikdörtgen olması için aşağıdaki eşitliklerinin sağlanması ise her türlü uygulamada sıkça karşılaşılan çok önemli başka bir ikinci dereceden denklemdir ve bu denklemin pozitif çözümü bizi altın orana götürür. Altın oran yakın zamanda fotoğraflarda ve film karelerinde de “mükemmel şekil” olarak görülmeye başlanmıştır. x2+x+1 ikinci dereceden denklemi ayrıca tavşan popülasyonu ile ilgili çalışmalarda ve ayçiçeği tohumları ve bitki saplarındaki yaprakların yerleşimindeki örüntülerde de ortaya çıkar. Bunların hepsi, altın oran ile verilen Fibonacci dizisi ile bağlantılıdır 1,1,2,3,5,8,13,21,34… Bu dizideki her terimin bir sonraki terimle oranı gittikçe altın oranına oran kullanımının somut bir örneği olan Yunanistan’daki Parthenon tapınağıKonikler ve ikinci dereceden denklemlerYunanlılar ayrıca konilerin şekli ile de çok ilgililerdi. Bir el fenerini duvar gibi düz bir yüzeye doğru tutup hareket ettirirseniz bu hareket esnasında oluşan çeşitli şekiller görürsünüz. Bu şekillere konik kesitler denir ve bunlar koniden çeşitli açılarda aldığınız dilimlerle elde ettiğiniz eğrilerdir. Tam olarak bu eğriler Yunanlılar tarafından incelenmiştir ve Yunanlılar temelde dört tip konik kesit olduğunu fark etmişlerdir. Koni boyunca yatay bir kesit alırsanız bir daire, yataya küçük bir açıyla yaklaşarak bir kesit alırsanız bir elips, dikey bir kesit alırsanız bir hiperbol ve koninin bir tarafına paralel bir kesit alırsanız bir parabol elde kesitlerin her biri ikinci dereceden bir denklemle ifade edilir. x,y her bir eğrinin üzerinden alınan bir nokta olmak üzere, x ve y yi birbirine bağlayan ikinci dereceden denklemler aşağıdaki gibidir Çember denklemi x2+y2=1Elips denklemi ax2+by2=1Hiperbol denklemi ax2-by2=1Parabol denklemi ax2=yGördüğünüz gibi ikinci dereceden denklemlerin kullanım yeri sanılandan çok daha fazladır. İkinci dereceden denklemler ve konikler arasındaki bağlantı, biraz da şans ile birleştiğinde, evrenin nasıl çalıştığının anlaşılmasına yol açmış ve dünyamızı algılama biçimimizi değiştirmiştir. Onu da başka bir yazıda ve İleri Okuma 101 uses of a quadratic equation;

denklemler günlük hayatta nerelerde kullanılır